Niveau 1 Fondamentaux

📘Introduction

🔹1.1 Grandeurs et lois de base

Tension, courant, puissance

La tension U (volt, V) est une différence de potentiel entre deux points ; le courant I (ampère, A) est le débit de charges dans un conducteur. Un dipôle reçoit la puissance P = U·I (watt, W) en convention récepteur (flèches de U et de I en sens contraires) ; s'il la fournit (générateur), on utilise la convention générateur. L'énergie est W = P·t (joule ; en pratique Wh ou kWh : 1 kWh = 3,6 MJ).

Loi d'Ohm et associations

Diviseur de tension (série) : U₂ = E·R₂/(R₁ + R₂). Diviseur de courant (parallèle) : I₂ = I·R₁/(R₁ + R₂).

La résistance d'un conducteur de longueur L et de section S vaut R = ρ·L/S ; pour le cuivre ρ ≈ 0,0175 Ω·mm²/m à 20 °C et 0,0225 Ω·mm²/m à la température de service retenue par la NF C 15-100. Cette formule sert partout dans le choix des câbles (niveau 3).

Lois de Kirchhoff

Pour un nœud relié à plusieurs branches (E_k, R_k), le théorème de Millman donne directement sa tension : V = Σ(E_k/R_k) / Σ(1/R_k). C'est le cas particulier, à un nœud, de la méthode des potentiels de nœuds qu'utilise le serveur de NRJXpert : on écrit la loi des nœuds en chaque nœud, d'où un système linéaire Y·V = J (matrice des admittances Y, potentiels V, courants injectés J).

Conventions de signe

Avant tout calcul, il faut orienter les flèches. Le courant i_ab est compté positif de a vers b ; la tension u_ab est la différence de potentiel v_a − v_b. Deux conventions coexistent :

Dans un générateur le courant circule vers les potentiels croissants, dans un récepteur vers les potentiels décroissants. Un résultat négatif n'est jamais une erreur : il indique simplement que la grandeur réelle est de sens contraire à la flèche choisie — une source traversée « à l'envers » se comporte en récepteur (elle se recharge). NRJXpert affiche chaque courant et chaque tension dans le sens propre du composant ; c'est pourquoi un courant peut y apparaître négatif (ou déphasé de 180°).

Dipôle actif : les deux modèles d'une source

Un dipôle actif est un générateur d'énergie. Sa tension de sortie dépend du courant débité :

En divisant cette relation par R_i, on obtient E/R_i = U/R_i + I : la même source s'écrit aussi comme une source de courant J = E/R_i = I_cc en parallèle sur R_i. Les deux modèles sont équivalents vus de l'extérieur (mais pas pour le bilan des pertes internes).

Une source est idéale quand R_i → 0 (source de tension : U = E quelle que soit la charge) ou R_i → ∞ (source de courant : I = J quelle que soit la charge). Une source est dite liée (ou commandée) lorsque sa valeur dépend d'une tension ou d'un courant du circuit : c'est le cas des schémas équivalents petits signaux des transistors (paramètres h) et, en réseau, des modèles d'onduleurs. NRJXpert traite les sources indépendantes, continues et alternatives, idéales ou avec impédance interne ; les générateurs à onduleur du niveau 5 sont, en court-circuit, des sources de courant.

Loi d'Ohm généralisée

Pour une branche quelconque, composée de résistances et de f.é.m. en série, parcourue par le courant I_ab :

Signe des f.é.m. : « + » si E_i est orientée de a vers b (dans le sens du courant choisi), « − » sinon. Cette relation unique remplace l'écriture maille par maille ; c'est elle qui permet, une fois les potentiels de nœuds connus, de revenir aux courants de branche (§ 1.2).

Bilan de puissances

Un calcul de réseau n'est fini que lorsqu'on a vérifié que toute la puissance produite est consommée :

Chaque terme E_i·I_i (ou U_i·J_i pour une source de courant) est affecté du signe « + » si E_i et I_i sont de même sens (la source fournit), du signe « − » sinon (la source reçoit). C'est le contrôle le plus sûr d'un calcul à la main comme d'un calcul de NRJXpert : relever les courants de toutes les branches et vérifier l'égalité à moins de 1 %.

Vocabulaire des réseaux

Un réseau à b branches et n nœuds possède n − 1 équations de nœuds et b − n + 1 mailles indépendantes : c'est le nombre d'inconnues de chacune des deux méthodes du § 1.2. NRJXpert construit cette topologie automatiquement à partir des bornes reliées (jonctions de ports → nœuds → branches).

Résistance d'un conducteur et température

D'où les deux valeurs de ρ employées dans les calculs de câbles (niveau 3) : 0,0175 Ω·mm²/m à 20 °C pour le cuivre, mais 0,0225 à la température de service (≈ 70 °C) retenue par la NF C 15-100, soit +28 %. Un conducteur chaud est plus résistant : les pertes, la chute de tension et le courant de court-circuit minimal en dépendent (CEI 60909, niveau 2).

🧮1.2 Méthodes de calcul des circuits linéaires

Les lois de Kirchhoff suffisent à écrire les équations d'un réseau, mais elles en donnent beaucoup : b courants inconnus pour b branches. Les méthodes qui suivent réduisent le nombre d'équations et se programment ; ce sont celles qu'emploie le serveur de calcul de NRJXpert. Elles sont présentées en continu, mais s'appliquent telles quelles en alternatif en remplaçant R par Z et G par Y (§ 1.3).

Méthode des courants de mailles

On choisit b − n + 1 mailles indépendantes et l'on attribue à chacune un courant de maille fictif. Le courant réel d'une branche est la somme algébrique des courants des mailles auxquelles elle appartient ; une branche qui n'appartient qu'à une maille porte le courant de cette maille. Le système s'écrit directement :

Méthode des potentiels de nœuds

On choisit un nœud comme référence des potentiels (V = 0) — la différence de potentiel entre deux points ne dépend pas de ce choix — et l'on écrit la loi des nœuds aux n − 1 autres, en exprimant chaque courant par la loi d'Ohm généralisée. Il vient un système linéaire dont les inconnues sont les potentiels :

Les potentiels obtenus, on revient aux courants par la loi d'Ohm généralisée : I_k = (V_a − V_b + E_k)·G_k. C'est la méthode du serveur de NRJXpert (matrice des admittances Y·V = J, étendue par analyse nodale modifiée aux branches d'impédance nulle : source de tension idéale, fil, ampèremètre, inductance en continu).

Appliquée à un réseau à deux nœuds, elle se réduit au théorème de Millman :

Théorème de superposition

Dans un réseau linéaire, le courant d'une branche est la somme des courants qu'y produirait chaque source agissant seule, les autres sources étant remplacées par leur résistance interne (court-circuit pour une source de tension idéale, circuit ouvert pour une source de courant idéale). Utile quand les sources ont des natures différentes (continu + alternatif, plusieurs fréquences) : chaque régime se calcule séparément, puis on superpose. Attention : les puissances ne se superposent pas (P = RI² n'est pas linéaire).

Générateur équivalent : Thévenin et Norton

Pour ne chercher que le courant d'une seule branche, on débranche cette branche et l'on remplace tout le reste du réseau (vu des deux bornes 1-2) par une source unique :

R_éq,12 se calcule en éteignant les sources (f.é.m. court-circuitées, sources de courant ouvertes) et en réduisant le réseau passif. Ces deux théorèmes sont le fondement du calcul de court-circuit : au point de défaut, le réseau entier est un générateur de Thévenin de f.é.m. c·U_n/√3 et d'impédance Z_k (niveau 2).

Théorème de Kennelly : transformation étoile ↔ triangle

Trois impédances en étoile et trois impédances en triangle sont équivalentes vues de leurs trois bornes a, b, c :

Cas équilibré : R_Δ = 3·R_Y. C'est la clé du calcul des charges triphasées (§ 1.6 : une charge en triangle absorbe trois fois la puissance de la même charge en étoile) et du schéma unifilaire de NRJXpert, qui ramène toute charge en triangle à son étoile équivalente (R/3, L/3, 3C). Il sert aussi à réduire un pont (montage de Wheatstone) que ni l'association série ni l'association parallèle ne permettent de simplifier.

🔸1.3 Régime sinusoïdal

Grandeurs sinusoïdales et phaseurs

Une tension u(t) = U√2·sin(ωt + φ_u) est caractérisée par sa valeur efficace U, sa pulsation ω = 2πf (314,16 rad/s à 50 Hz) et sa phase φ_u. On la représente par le phaseur (nombre complexe) U = U·e^jφu = U∠φ_u. Toutes les grandeurs d'un circuit linéaire ont la même fréquence : les phaseurs transforment les équations différentielles en équations algébriques complexes, et les lois d'Ohm et de Kirchhoff s'appliquent telles quelles.

Impédances

NRJXpert calcule les impédances à la fréquence du réseau (Simulation › Paramètres du calcul) ; si toutes les sources sont continues, il travaille à 0 Hz : les inductances deviennent des courts-circuits et les condensateurs des circuits ouverts.

Valeur moyenne, valeur efficace

Un signal est alternatif si sa valeur instantanée prend successivement des valeurs positives et négatives, périodique s'il se reproduit identique à lui-même toutes les T secondes. Deux grandeurs le caractérisent :

La valeur efficace est définie par ses effets : c'est la valeur du courant continu qui dégagerait la même quantité de chaleur dans une résistance pendant une période (Q = ∫R·i²dt = R·I²T). Pour une sinusoïde, I = I_m/√2 et U_moy = 0. Tous les appareils de mesure et toutes les plaques signalétiques donnent des valeurs efficaces : « 230 V » signifie U_m = 325 V.

Des vecteurs tournants aux phaseurs

Un vecteur de longueur I_m tournant à la vitesse ω a pour projection I_m·sin(ωt + Ψ) : à toute grandeur sinusoïdale correspond un vecteur tournant, et réciproquement. D'où la règle de Fresnel : la somme de plusieurs grandeurs sinusoïdales de même fréquence est une grandeur sinusoïdale de même fréquence, résultante géométrique des vecteurs — il est bien plus facile d'additionner des vecteurs que des fonctions du temps.

La transformation cissoïdale formalise ce passage : à i(t) = I_m·sin(ωt + Ψ_i) on associe la grandeur complexe I(t) = I_m·e^j(ωt+Ψi), dont la partie imaginaire est le signal réel. Comme toutes les grandeurs d'un même réseau tournent ensemble, le facteur e^jωt se simplifie : il suffit de retenir la position des vecteurs à t = 0, c'est le phaseur :

C'est la propriété clé : la dérivation et l'intégration deviennent des multiplications. L'équation différentielle du circuit R-L-C série e = Ri + L·di/dt + (1/C)∫i·dt devient l'équation algébrique E = [R + jLω + 1/(jCω)]·I = Z·I.

Lois de Kirchhoff sous forme complexe

Les lois de Kirchhoff s'appliquent donc aux phaseurs, et non aux valeurs efficaces : trois tensions efficaces de 100 V, 150 V et 200 V peuvent parfaitement coexister dans une même maille (exercice 6). Toutes les méthodes du § 1.2 — mailles, potentiels de nœuds, Millman, superposition, Thévenin, Norton, Kennelly — restent valables en remplaçant :

C'est exactement ce que fait le serveur de NRJXpert : il construit la matrice des admittances complexes à la fréquence du réseau et résout Y·V = J dans ℂ.

⚡1.4 Puissances et compensation de l'énergie réactive

La puissance active P produit un travail (chaleur, mouvement) ; la puissance réactive Q fait seulement « osciller » l'énergie entre la source et les champs magnétiques (moteurs, transformateurs) ou électriques (condensateurs). Elle n'est pas facturée en basse tension, mais elle augmente le courant à puissance active égale : plus de pertes (R·I²), de chute de tension et de section de câble. D'où la compensation : un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive que la charge absorbe.

De la puissance instantanée aux trois puissances

Avec u = U_msin(ωt + Ψ_u) et i = I_msin(ωt + Ψ_i), la puissance instantanée p = u·i oscille à 2ω autour d'une valeur moyenne : cette moyenne est la puissance active.

Le signe de Q suit la nature du dipôle : « + » pour un dipôle inductif (il consomme du réactif), « − » pour un dipôle capacitif (il en produit). Les quatre triangles semblables — courants (I_a, I_r), tensions (U_a, U_r), impédances (R, X) et puissances (P, Q) — se déduisent les uns des autres par multiplication par I, I et I : le même angle φ s'y retrouve.

Théorème de Boucherot. Les puissances actives s'ajoutent entre elles, les puissances réactives entre elles (avec leur signe) ; les puissances apparentes ne s'ajoutent pas : P = ΣP_k, Q = ΣQ_k, S = √(P² + Q²) ≤ ΣS_k. C'est la méthode de calcul d'une installation : on fait l'inventaire des charges, on additionne, et on en déduit le courant de ligne I = S/U (monophasé) ou S/(√3U) (triphasé).

📈1.5 Résonance dans les circuits électriques

Résonance série (résonance de tension)

Dans un circuit R-L-C série, Z = R + j(X_L − X_C). Lorsque X_L = X_C, la partie imaginaire s'annule : le circuit est purement résistif, le courant est maximal et en phase avec la tension, et U_L = −U_C.

Le coefficient de surtension (ou facteur de qualité) mesure la tension qui apparaît aux bornes des éléments réactifs :

Avec un q de 10, une source de 230 V produit 2 300 V aux bornes du condensateur : c'est le danger de la résonance série, et l'intérêt des circuits accordés en radiofréquence.

Résonance parallèle (résonance de courant, antirésonance)

Pour une bobine (R₁, L) en parallèle sur un condensateur (R₂, C), l'admittance s'écrit Y = g − jb avec

La résonance (b = 0) donne :

Elle n'est possible que si R₁ et R₂ sont tous deux inférieurs à ρ, ou tous deux supérieurs. Si R₁ = R₂ ≠ ρ, on retrouve ω′₀ = ω₀ ; si R₁ = R₂ = ρ, le circuit résonne à toutes les fréquences. À la résonance, le courant de ligne est minimal (limité par R) alors que les courants dans L et C peuvent être considérables : le facteur de surintensité vaut q_i = I_L/I = I_C/I.

🔺1.6 Systèmes triphasés

Un système triphasé équilibré comporte trois tensions de même valeur efficace, décalées de 120° : V_a = V∠0°, V_b = V∠−120°, V_c = V∠+120° (ordre direct). Les tensions simples V sont mesurées entre phase et neutre, les tensions composées U entre phases : U = √3·V (230/400 V en basse tension).

Pour une même impédance par branche, le triangle absorbe 3 fois la puissance de l'étoile. En équilibré, le courant de neutre est nul (somme de trois phaseurs égaux décalés de 120°) : on étudie une seule phase (schéma monophasé équivalent, dit « unifilaire »), comme le fait NRJXpert dans les calculs de load flow et de court-circuit. En déséquilibré (charges monophasées), le neutre transporte la somme des courants de phase.

D'où viennent les trois phases

Une spire de surface S₀ tournant à la vitesse ω dans un champ magnétique B voit un flux Φ = B·S₀·cos(ωt + Ψ) et est le siège d'une f.é.m. e = −dΦ/dt = B·S₀·ω·sin(ωt + Ψ) : sinusoïdale. Si l'on place trois bobines décalées de 120° dans l'espace autour d'un même rotor (électro-aimant), on obtient trois f.é.m. déphasées de 120° dans le temps :

L'ordre (ou séquence) des phases est l'ordre dans lequel les maxima se succèdent : A-B-C (ordre direct) ou A-C-B (ordre inverse) — c'est lui qui fixe le sens de rotation des moteurs asynchrones. Le triphasé, découvert en 1890-1891, s'est imposé parce qu'il fournit deux tensions (simple et composée), transporte la même puissance avec moins de cuivre, et produit un champ tournant : le moteur asynchrone, machine la plus répandue de l'industrie.

Relations entre tensions et courants

Le triangle isocèle formé par deux tensions simples donne U_BC = 2·V_C·cos 30° = √3·V ; de même, en triangle, le courant de ligne est la différence de deux courants de branche déphasés de 120° :

Calcul d'un système à 4 fils (étoile avec neutre)

Générateur, ligne et récepteur, équilibrés ou non : on applique le théorème de Millman entre le neutre du récepteur O′ et celui du générateur O :

Si le système est équilibré (Y_A = Y_B = Y_C et ΣE = 0), alors U_O′O = 0 et I_N = 0 : le fil de neutre peut être supprimé et l'étude se ramène à une seule phase. C'est ce schéma monophasé équivalent — le schéma unifilaire — qu'utilise NRJXpert pour le load flow, le court-circuit et les études DER.

En déséquilibré, au contraire, U_O′O ≠ 0 : le neutre du récepteur se déplace, les trois tensions de phase ne sont plus égales, et le courant de neutre vaut ΣI_k. Si le neutre est coupé, certaines phases sont surtensionnées (exercice 9) : c'est l'incident classique des réseaux basse tension à charges monophasées mal réparties.

Calcul d'un système à 3 fils

Récepteur en étoile — on connaît les tensions composées (qui vérifient toujours U_AB + U_BC + U_CA = 0) :

Récepteur en triangle — les tensions de branche sont les tensions composées :

Si l'impédance de ligne n'est pas négligeable, on transforme d'abord le triangle en étoile équivalente (Kennelly, § 1.2), on calcule U_O′O et les courants de ligne, puis on revient aux courants de branche par U_A′B′ = I_AZ_A′ − I_BZ_B′.

Puissances en triphasé

Attention : en déséquilibré, S = √3·U·I n'a plus de sens, et cos φ n'est plus unique — on calcule phase par phase (ou, mieux, par les composantes symétriques du § 1.7).

Mesure des puissances

Pourquoi deux wattmètres suffisent. En 3 fils, i_A + i_B + i_C = 0, donc i_C = −i_A − i_B et

La moyenne donne P = U_ACI_Acos(U_AC,I_A) + U_BCI_Bcos(U_BC,I_B), c'est-à-dire la somme des indications des deux wattmètres — que le récepteur soit équilibré ou non, et sans aucun accès au neutre. En équilibré seulement :

Conséquence pratique : pour |φ| > 60° (cos φ < 0,5), l'un des deux wattmètres indique une valeur négative ; il faut inverser son circuit courant et compter son indication négativement. Un wattmètre négatif n'est donc pas une panne.

🔱1.7 Composantes symétriques

Un réseau déséquilibré ne se calcule plus sur une seule phase. La méthode des composantes symétriques (Fortescue, 1918) le ramène à trois réseaux équilibrés, chacun calculable sur une phase.

Théorème. Tout système de trois grandeurs sinusoïdales de même nature et de même fréquence est la superposition de trois systèmes équilibrés : un système direct (indice d ou 1), un système inverse (i ou 2) et un système homopolaire (0), avec l'opérateur de rotation a = e^j2π/3 (a³ = 1, 1 + a + a² = 0) :

Lecture physique : la composante directe est le système « normal », celui qui fait tourner les moteurs dans le bon sens ; la composante inverse crée un champ de sens contraire (échauffement et couple de freinage dans les machines : on limite le taux V_i/V_d à 2 % en exploitation) ; la composante homopolaire est en phase sur les trois phases et ne peut circuler que s'il existe un chemin de retour (fil de neutre ou terre) : I_N = 3·I₀.

Impédances de séquence

Un récepteur équilibré d'impédance Z, de neutre relié par Z_N, soumis à trois tensions quelconques, se calcule séquence par séquence :

Le facteur 3Z_N vient de ce que les trois courants homopolaires se referment ensemble par le neutre. Pour les machines et les transformateurs, Z₀ diffère fortement de Z_d (et dépend du couplage : un enroulement en triangle bloque l'homopolaire) : ce sont les données R0, X0 et zeroSequence que l'on saisit dans NRJXpert.

Théorème de compensation et mise en équations

Pour traiter un défaut (ou toute dissymétrie localisée), on remplace l'élément dissymétrique par trois sources de tension égales aux chutes de tension à ses bornes (théorème de compensation : une résistance parcourue par i_k est équivalente à une f.é.m. E_k = R_ki_k orientée en sens contraire du courant). En décomposant ces sources et en appliquant la superposition, on obtient trois schémas équilibrés et trois équations générales :

Seuls les réseaux direct contiennent des sources (les alternateurs ne produisent qu'un système direct). Ces trois équations ne suffisent pas : on les complète par les équations du défaut.

🧩1.8 Prise en main de NRJXpert

Le logiciel comprend un client (dessin des schémas, saisie, affichage) et un serveur de calcul (Python), hébergé à distance et joint par Internet, qui reçoit le schéma, le transforme en équations et renvoie les résultats. Le détail des menus est dans le guide de l'utilisateur ; l'essentiel :

🎯Exercices

Les exercices 5 à 10 sont tirés des travaux dirigés d'électricité appliquée du Département de Génie Électrique (ESP-UCAD). Ils se prêtent tous à une vérification par NRJXpert.

✅QCM du niveau 1

👤Auteur

Novembre 2026