Niveau 2 Réseaux électriques

📘Introduction

🧵2.1 Lignes et câbles

Une ligne ou un câble est caractérisé par quatre grandeurs linéiques (par km) : résistance r, inductance l (réactance x = lω), capacité c et conductance g (négligée). Ordres de grandeur :

Modèles selon la longueur électrique : ligne courte (< 80 km en aérien) : R + jX en série ; ligne moyenne (modèle en π) : R + jX en série et C/2 vers la terre à chaque extrémité ; ligne longue : modèle à constantes réparties. NRJXpert propose les modèles R, L, RL et RLC en π (palette Réseau) avec R = r·ℓ, L = l·ℓ, C = c·ℓ.

Grandeurs homopolaires. Pour les défauts à la terre, il faut aussi r₀, x₀ (retour par la terre, environ 3 fois x en aérien) et c₀ : rubrique « Homopolaire » des lignes.

Représentation en quadripôle

Vue de ses deux extrémités, une ligne est un quadripôle : la tension et le courant d'entrée (indice S, sending) se déduisent de ceux de sortie (indice R, receiving) par quatre constantes :

avec Z = z·ℓ et Y = y·ℓ (impédance série et admittance shunt totales). Le quadripôle permet de chaîner les ouvrages (ligne + transformateur + ligne) par simple produit de matrices.

Ligne longue : constantes réparties

Sur une tranche dx, dV/dx = z·I et dI/dx = y·V, d'où d²V/dx² = zy·V et la solution en ondes progressives :

γ est la constante de propagation (α : atténuation, β : déphasage), Z_c l'impédance caractéristique (ou impédance d'onde). On peut toujours ramener une ligne longue à un π exact : Z′ = Z_c·sinh(γℓ) et Y′/2 = tanh(γℓ/2)/Z_c.

Ligne sans pertes et puissance naturelle (SIL)

Pour r = g = 0 : α = 0, β = ω√(LC) et Z_c = √(L/C) est réelle (≈ 400 Ω pour une ligne aérienne, 30 à 50 Ω pour un câble). Si la ligne débite exactement sur Z_c, le courant vaut V_R/Z_c :

Dans ce régime, |V(x)| et |I(x)| sont constants le long de la ligne et Q_S = Q_R = 0 : le réactif consommé par l'inductance série est exactement fourni par la capacité shunt. C'est le point d'équilibre de référence :

Effet Ferranti : cas extrême de la ligne longue à vide (I_R = 0). Alors V_R = V_S/cosh(γℓ) : la tension en bout de ligne est supérieure à celle de l'origine (le courant capacitif, en avance, « remonte » la tension à travers l'inductance série). D'où le réflexe d'exploitation : on ne laisse pas une longue ligne HTB sous tension à vide sans réactance de compensation.

Performances d'une ligne

La capacité d'un câble est 5 à 20 fois celle d'une ligne aérienne : son courant capacitif limite sa longueur utile et impose des compensations — c'est le point dur des liaisons souterraines et sous-marines.

🔸2.2 Transformateurs

Le schéma de Kapp ramène le transformateur à une impédance série Z_cc = R_cc + jX_cc et à une branche magnétisante (R_fe ∥ jX_m), à partir des essais en court-circuit (u_cc, P_cc) et à vide (i₀, P₀) :

Le couplage (Dyn, YNd, Yyn…) n'intervient pas en direct mais détermine le chemin homopolaire : un enroulement en triangle bloque le courant homopolaire, un neutre étoile relié à la terre le laisse passer. Le Dyn11, très répandu en distribution, isole le réseau HTA des défauts terre BT et fournit au réseau BT un neutre à la terre.

📗2.3 Système per-unit

On choisit une puissance de base S_b (commune à tout le réseau, ex. 100 MVA ou 10 MVA) et une tension de base U_b par niveau de tension (rapport des transformateurs). Toute grandeur est divisée par sa base :

Intérêts : les transformateurs disparaissent (rapport 1 en pu), les tensions sont proches de 1 pu, les ordres de grandeur se comparent d'un réseau à l'autre (u_cc d'un transformateur = son impédance en pu sur sa propre base). Le serveur de NRJXpert travaille en pu pour le load flow (S_b = 100 MVA, U_b = tension du réseau saisie dans les paramètres du calcul).

Pourquoi deux grandeurs de base suffisent

Quatre grandeurs complexes décrivent un circuit triphasé : la tension composée U, le courant de ligne I, la puissance apparente S et l'impédance Z. Elles sont liées par U = √3V, S = 3V·I* et V = Z·I : seules deux sont indépendantes. On choisit donc S_b et U_b, et l'on en déduit le reste :

En per-unit, les facteurs 3 et √3 disparaissent : s = v·i*, v = z·i. Les lois des circuits restent valables.

Le transformateur disparaît

Si l'on choisit les tensions de base dans le rapport de transformation (U_b2 = U_b1/m) et la même puissance de base de part et d'autre, alors v′₂_pu = v₂_pu et i′₂_pu = i₂_pu : le transformateur se réduit à sa seule impédance de court-circuit, et le réseau entier devient un circuit à un seul niveau de tension. C'est la raison d'être du système per-unit. (NRJXpert ne représentant pas encore le rapport de transformation dans le calcul, les impédances doivent y être ramenées à la tension du point étudié : voir le § 2.2 et les limites du transformateur triphasé.)

Ohms, pourcentage, per-unit

Les constructeurs donnent les impédances des machines et des transformateurs en % (ou en pu) sur leur propre base : u_cc = 6 % signifie z = 0,06 pu à la puissance nominale. L'étude du réseau impose de tout ramener à une base commune : z_nouvelle = z_ancienne·(S_b,nouv/S_b,anc)·(U_b,anc/U_b,nouv)².

📉2.4 Chute de tension et pertes

Pour une ligne d'impédance R + jX transportant P + jQ sous la tension composée U :

Conséquences pratiques : la chute de tension dépend surtout de P sur les réseaux résistifs (BT, HTA à faible section) et de Q sur les réseaux inductifs (HTB) ; d'où le réglage de la tension par la puissance réactive en transport, et le rôle des onduleurs pilotés en distribution (niveau 5). Les pertes varient comme le carré de la puissance et l'inverse du carré de la tension : doubler la tension divise les pertes par 4.

🔀2.5 Load flow : formulation

Le load flow (répartition des charges) calcule l'état permanent d'un réseau connaissant les puissances produites et consommées. Comme on impose des puissances et non des impédances, les équations sont non linéaires.

Types de nœuds (bus)

Matrice des admittances et équations

Y_bus se construit élément par élément : pour une branche d'admittance y_ik entre i et k, on ajoute y_ik à Y_ii et Y_kk et on retranche y_ik à Y_ik et Y_ki ; les admittances vers la terre (C/2 des lignes) s'ajoutent à la diagonale. Au nœud i :

La méthode nodale appliquée aux réseaux d'énergie

La matrice Y_bus n'est rien d'autre que la matrice des conductances du § 1.2, écrite en complexes et avec la terre comme nœud de référence :

Elle est creuse (un nœud n'est relié qu'à quelques voisins) et symétrique : c'est ce qui rend calculables des réseaux de plusieurs milliers de nœuds. Z_bus = Y_bus⁻¹, elle, est pleine ; sa diagonale donne directement les impédances de Thévenin vues de chaque nœud — celles qui servent au calcul de court-circuit (§ 2.7).

Si les puissances étaient remplacées par des impédances, le problème redeviendrait linéaire et se résoudrait d'un coup (c'est le calcul « réseau linéaire » de NRJXpert). C'est l'imposition des puissances qui oblige à itérer.

Transits et pertes des lignes

Une fois les tensions connues, on remonte aux courants et aux puissances de chaque extrémité de ligne :

La somme S_ij + S_ji n'est pas nulle : c'est la perte de la branche (positive en actif, et de signe quelconque en réactif selon que la ligne consomme ou produit du réactif). Le bilan global ΣP_gén = ΣP_charges + ΣP_pertes est le premier contrôle d'un load flow — c'est la version « réseau » du bilan de puissances du § 1.1.

📘2.6 Méthodes de résolution

Gauss-Seidel

On utilise pour chaque nœud les tensions les plus récentes. Nœud PV : on calcule d'abord Q_i avec les tensions courantes, puis on remet |V_i| à sa consigne après la mise à jour. Simple, mais convergence lente (dizaines d'itérations) ; un facteur d'accélération (1,4 à 1,6) aide.

Newton-Raphson

On linéarise les équations de puissance autour de l'état courant et l'on résout pour les corrections :

Convergence quadratique : 3 à 6 itérations quel que soit la taille du réseau, mais chaque itération coûte une factorisation du jacobien. C'est la méthode de référence.

Découplé rapide (Stott)

Hypothèses : R ≪ X, angles faibles, |V| ≈ 1. Alors ∂P/∂|V| ≈ 0 et ∂Q/∂δ ≈ 0, et les sous-matrices deviennent constantes (B' et B'') : on les factorise une seule fois. Très rapide sur les réseaux de transport, mais lent ou divergent quand R/X est grand (réseaux de distribution) : voir le TP ci-dessous et le load flow de distribution du niveau 5.

Les termes du jacobien

En écrivant I_i = Σ_j|Y_ij||V_j|∠(θ_ij + δ_j), on obtient les quatre sous-matrices du jacobien (termes hors diagonale, i ≠ j, et termes diagonaux) :

C'est dans ces deux dernières expressions (les diagonales) que se cachait l'erreur corrigée dans le serveur de NRJXpert en octobre 2026 : un indice V[bs] au lieu de V[bus] faisait passer la convergence de 5 à 8 itérations.

Algorithme de Newton-Raphson

1. Initialiser (démarrage « à plat » : |V| = 1 pu, δ = 0, sauf consignes).
2. Nœuds de charge : calculer P_i, Q_i et les résidus ΔP_i = P_i^consigne − P_i, ΔQ_i.
3. Nœuds à tension régulée (PV) : calculer P_i et ΔP_i seulement (|V| est imposé).
4. Former le jacobien et résoudre [ΔP ; ΔQ] = J·[Δδ ; Δ|V|].
5. Mettre à jour : δ_i ← δ_i + Δδ_i, |V_i| ← |V_i| + Δ|V_i|.
6. Recommencer jusqu'à max(|ΔP|, |ΔQ|) < ε (typiquement 10⁻⁶ pu).

Gauss-Seidel, lui, se contente d'un facteur d'accélération appliqué aux nœuds PQ : V_i^(k+1) = V_i^(k) + α(V_i,calc − V_i^(k)) avec α = 1,3 à 1,7 : simple à programmer, mais son nombre d'itérations croît avec la taille du réseau, alors que celui de Newton-Raphson n'en dépend pratiquement pas.

⚡2.7 Court-circuit selon la CEI 60909-0

Principe : source de tension équivalente

On remplace toutes les sources par une source unique c·U_n/√3 placée au point de défaut ; les charges sont négligées (sauf les moteurs) et le réseau est réduit à l'impédance vue du défaut. Le facteur de tension c couvre les variations de tension et les approximations :

Composantes symétriques

Un système triphasé déséquilibré se décompose (Fortescue) en trois systèmes équilibrés : direct (1), inverse (2) et homopolaire (0), avec a = e^j2π/3 :

Chaque élément a trois impédances Z₁, Z₂, Z₀ (éléments statiques : Z₂ = Z₁) ; on calcule l'impédance vue du défaut dans chacun des trois réseaux, puis on les associe selon le type de défaut :

Courant de crête : i_p = κ·√2·I"_k avec κ = 1,02 + 0,98·e^−3R/X. Défaut éloigné des alternateurs : courant coupé I_b et courant permanent I_k égaux à I"_k. Puissance de court-circuit : S"_k = √3·U_n·I"_k.

⚡2.8 Protections : ce que l'on fait des courants de court-circuit

• Pouvoir de coupure de l'appareil ≥ I"k max (et ip ≤ pouvoir de fermeture) au point d'installation.
• Sensibilité : le courant de court-circuit minimal (c_min, défaut le plus éloigné, souvent monophasé ou biphasé) doit faire déclencher la protection dans le temps imposé : c'est le calcul « Icc min » de NRJXpert.
• Tenue thermique des câbles : I²·t ≤ k²·S² (k ≈ 143 pour le cuivre isolé PR).
• Sélectivité : seule la protection immédiatement en amont du défaut doit déclencher (sélectivité ampèremétrique, chronométrique, logique).
• Onduleurs : leur contribution est limitée à 1,1 à 1,5 fois leur courant nominal ; un réseau alimenté surtout par des onduleurs a des courants de défaut faibles, ce qui complique la détection (niveau 5).

💰2.9 Répartition économique de la production

Le load flow répond à la question « que devient le réseau si les groupes produisent cela ? ». La question suivante est « combien chaque groupe doit-il produire ? » : les coûts de combustible diffèrent d'une centrale à l'autre, et la capacité installée dépasse la demande augmentée des pertes. Il existe donc une infinité de répartitions possibles, dont une seule est la moins chère.

Cas le plus simple : sans pertes ni limites

Le coût horaire d'un groupe thermique s'ajuste bien par une parabole : C_i = α_i + β_iP_i + γ_iP_i² (F/h ou $/h). On minimise C_t = ΣC_i sous la contrainte ΣP_i = P_D. Le lagrangien L = C_t + λ(P_D − ΣP_i) et les conditions ∂L/∂P_i = 0 donnent :

Règle des coûts marginaux égaux : à l'optimum, le coût du dernier MWh produit est le même partout. λ est ce coût marginal commun, exprimé en F/MWh : c'est le prix du système, celui qui sert de référence aux marchés de l'électricité.

Avec les limites des groupes

En ajoutant P_i,min ≤ P_i ≤ P_i,max, les conditions de Kuhn-Tucker donnent la même règle, sauf pour les groupes bloqués sur une borne :

On résout par itération sur λ (méthode de Newton) : à chaque pas, on calcule les P_i, on les écrête aux bornes, et l'on corrige λ de Δλ = ΔP/Σ(1/2γ_i) sur les seuls groupes libres, jusqu'à ce que ΣP_i = P_D.

En tenant compte des pertes du réseau

Les pertes dépendent de la répartition : produire loin des charges coûte des pertes. On les exprime par les coefficients de pertes de Kron (B_ij, calculés à partir d'un load flow de référence) :

La condition d'optimalité devient dC_i/dP_i + λ·∂P_L/∂P_i = λ, c'est-à-dire

1. Initialiser λ.
2. Calculer les P_i (formule ci-dessus, écrêtés aux limites) et les pertes P_L.
3. Calculer ΔP = P_D + P_L − ΣP_i, puis Δλ = ΔP/Σ(∂P_i/∂λ).
4. λ ← λ + Δλ ; revenir à l'étape 2 jusqu'à |ΔP| < ε.

Cas simplifié fréquent (B_ij = 0, B₀₀ = 0) : P_L = ΣB_iiP_i² et P_i = (λ − β_i)/[2(γ_i + λB_ii)].

Cette formulation « un seul nœud » ignore le réseau (contraintes de tension, limites thermiques des lignes), les durées minimales de marche et d'arrêt des groupes, le stockage et les renouvelables. Le niveau 5 en donne la version moderne : OPF multi-périodes et engagement des unités formulés en programmation linéaire mixte (MILP), avec contrôle par load flow — c'est ce que calcule le paquet der/ du serveur (economics/dispatch.py, economics/opf.py). La règle des coûts marginaux égaux en reste le cœur.

🎯Exercices

✅QCM du niveau 2

👤Auteur

Novembre 2026